Théorème de Castigliano

Le théorème de Castigliano (du nom de Carlo Alberto Castigliano) est à la base de nombreuses méthodes de calcul des efforts en résistance des matériaux. Il repose sur une relation énergétique et permet un calcul relativement simple des grandeurs spécifiques (efforts ou déplacements) cherchées.

Premier énoncé de Castigliano

La dérivée partielle du travail des forces extérieures par rapport à une force est égale au déplacement du point d'application selon la ligne d'action de cette force. Ainsi la dérivée partielle du travail des forces extérieures par rapport à un couple (mécanique) détermine la rotation de la poutre au point de la section où s'applique ce couple.

$q_{i}$ avec $i=1,...,n$

$q_{i}$ ... déplacements généralisés

$Q_{i}$ ... forces généralisées

$U=U(q_{1},...,q_{n})$ ... énergie élastique (énergie de déformation)

Second énoncé de Castigliano

${\frac {\partial U^{*}}{\partial Q_{i}}}=q_{i}$ avec $i=1,...,n$

$q_{i}$ ... déplacements généralisés

$Q_{i}$ ... forces généralisées

$U^{*}=U^{*}(Q_{1},...,Q_{n})$ ... énergie interne, dite énergie complémentaire de déformation

Énoncé de Menabrea

Le second énoncé de Castigliano peut également être mis à profit pour le calcul d'efforts hyperstatiques. La forme particulière sous laquelle on l'utilise alors prend le nom d'équation de Menabrea.

${\frac {\partial U^{*}}{\partial X_{i}}}=0$ avec $i=1,...,n$

$X_{i}$ ... inconnues hyperstatiques (qui ne «travaillent» pas) $U^{*}=U^{*}(X_{1},...,X_{n})$ ... énergie interne, dite énergie complémentaire de déformation.

Bibliographie

• Castigliano, Carlo Aberto: Théorie de l'équilibre des systèmes élastiques et ses applications. Nero, Turin 1879.
• Jean Salençon Mécanique des milieux continus vol. 2 (1989) éd. Ellipses, (ISBN 2-7302-0195-5)
• J.-P. Henry, E. Parsy Cours d'élasticité (1982), éd. Dunod, (ISBN 2-04-010814-9)
• J. Goulet, J-P. Boutin - Résistance des matériaux (1998), éd. Dunod-Université, (ISBN 2-10-004158-4)

Références

(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Satz von Castigliano » (voir la liste des auteurs).